การเท่ากันของคู่อันดับ
บทนิยาม คู่อันดับ
(a, b) = (c, d) ก็ต่อเมื่อ a =
c และ b = d
เมื่อ a, b, c, d เป็นจำนวนจริงใด ๆ
ตัวอย่างที่ 1 จากการเท่ากันของคู่อันดับต่อไปนี้จงหาค่าตัวแปร
1.1 (5, 9) = (a, 9) จะได้
a = 5
1.2 (a, 7) = (-3, 7) จะได้
a = -3
1.3 (a+2, -1) = (8, -1) จะได้ a
= 6
ตัวอย่างที่ 2
จงหาค่า
x และ y ที่ทำให้ (x + 2, y + 10)
วิธีทำ
จากความหมายการเท่ากันของคู่อันดับ
จะได้ว่า
x + 2 = 6
และ
y + 10 = 12
\
x = 4
และ
y = 2
ตัวอย่างที่ 3
จงหาค่าของ
x และ y ที่ทำให้ (2x + y, 24)
= (6, 3x – y)
วิธีทำ จากความหมายการเท่ากันของคู่อันดับ
จะได้ว่า
2x +
y
=
6
……………………….. (1)
3x – y
=
24
……………………….. (2)
(1) + (2) ; 5x
= 30
x
= 6
แทนค่า x ใน (1) จะได้
y
=
-6
ความสัมพันธ์
คู่อันดับ (Order Pair) เป็นการจับคู่สิ่งของโดยถือลำดับเป็นสำคัญ เช่น
คู่อันดับ a, b จะเขียนแทนด้วย (a, b) เรียก a ว่าเป็นสมาชิกตัวหน้า
และเรียก b ว่าเป็นสมาชิกตัวหลัง
(การเท่ากับของคู่อันดับ) (a, b) = (c, d) ก็ต่อเมื่อ a =
c และ b = d
ผลคูณคาร์ทีเชียน (Cartesian Product) ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และเซต B คือ
เซตของคู่อันดับ (a, b) ทั้งหมด โดยที่ a เป็นสมาชิกของเซต A และ b เป็นสมาชิกของเซต B
สัญลักษณ์ ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และเซต B เขียนแทนด้วย A x B
หรือ เขียนในรูปเซตแบบบอกเงื่อนไขจะได้ว่า
ความสัมพันธ์ (Relation)r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ r เป็นสับเซตของ A x B
โดเมน (Domain) และ เรนจ์ (พิสัย) (Range)
โดเมน (Domain) ของความสัมพันธ์ r คือ
เซตที่มีสมาชิกตัวหน้าของทุกคู่อันดับในความสัมพันธ์ rใช้สัญลักษณ์แทนด้วย Dr ดังนั้น Dr =
{x | (x, y) ε r}
เรนจ์ (Range) ของความสัมพันธ์ r คือ
เซตที่มีสมาชิกตัวหลังของทุกคู่อันดับในความสัมพันธ์ r ใช้สัญลักษณ์แทนด้วย R rดังนั้น Rr =
{y | (x, y) ε r}
หลักเกณฑ์ในการพิจารณาหาโดเมนและเรนจ์ในความสัมพันธ์ R
ลักษณะของความสัมพันธ์
|
วิธีหาโดเมน
|
วิธีหาเรนจ์
|
เซตแบบแจกแจงสมาชิก
|
พิจารณาสมาชิกตัวหน้าของทุกคู่อันดับในความสัมพันธ์ r
|
พิจารณาสมาชิกตัวหลังของทุกคู่อันดับในความสัมพันธ์ r
|
เซตแบบบอกเงื่อนไข
|
1. เปลี่ยนเป็นเซตแบบแจกแจงสมาชิกแล้วพิจารณาสมาชิกตัวหน้าของทุกคู่อันดับในความสัมพันธ์ r
2. พิจารณารูปแบบของเงื่อนไขแล้วจัด y ให้อยู่ในรูป x แล้วหาค่า x ที่ทำให้ y เป็นจริงตามเงื่อนไข
3. เปลี่ยนเป็นเซตแบบแจกแจงสมาชิกแล้วพิจารณาสมาชิกตัวหลังของทุกคู่อันดับในความสัมพันธ์ r
4. พิจารณารูปแบบของเงื่อนไขแล้วจัด x ให้อยู่ในรูป y แล้วหาค่า y ที่ทำให้ x เป็นจริงตามเงื่อนไข
|
|
กราฟ
|
พิจารณาค่าของ x ทั้งหมดบนแกน X ที่ใช้ในการเขียนกราฟ
|
พิจารณาค่าของ y ทั้งหมดบนแกน Y ที่ใช้ในการเขียนกราฟ
|
ตัวผกผันของความสัมพันธ์ (Inverse of Relation) อินเวอร์สของความสัมพันธ์ r คือ
ความสัมพันธ์ซึ่งเกิดจากการสลับที่ของสมาชิกตัวหน้าและสมาชิกตัวหลังในแต่ละคู่อันดับที่เป็นสมาชิกของ rเขียน
r-1 ในรูปเซตแบบบอกเงื่อนไขได้ดังนี้ r-1 = {(x, y)
| (y, x) ε r}
ถ้า r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B แล้ว r-1 จะเป็นความสัมพันธ์จาก B ไป Aสัญลักษณ์ อินเวอร์สของความสัมพันธ์ r เขียนแทนด้วย r-1
ฟังก์ชัน
ฟังก์ชัน (Function) คือ ความสัมพันธ์ ซึ่งในสองคู่อันดับใด
ๆ ของความสัมพันธ์นั้น ถ้ามีสมาชิกตัวหน้าเท่ากันแล้ว สมาชิกตัวหลังต้องไม่แตกต่างกันหรือ
ฟังก์ชัน คือ ความสัมพันธ์ ซึ่งในสองคู่อันดับใด
ๆ ของความสัมพันธ์นั้น ถ้าสมาชิกตัวหน้าเท่ากัน สมาชิกตัวหลังต้องเท่ากันด้วย1) ถ้าแต่ละค่าของ x หาค่า y ได้เพียงค่าเดียว สรุปว่า r เป็นฟังก์ชัน2) ถ้ามีบางค่าของ x ที่ทำให้หาค่า y ได้มากกว่าหนึ่งค่า สรุปว่า r ไม่เป็นฟังก์ชันสมมติให้
(x, y) ε r และ (x, z) ε r ดังนั้นจะได้เงื่อนไข r(x,
y) และ r(x, z) พิจารณา1) ถ้าสามารถแสดงได้ว่า y
= z จะได้ว่า r เป็นฟังก์ชัน2) ถ้ากรณีที่มี y ε z จะได้ว่า r ไม่เป็นฟังก์ชันกำหนดกราฟความสัมพันธ์ r ให้ลากเส้นตรงที่ขนานกับแกน Y และให้ตัดกราฟของความสัมพันธ์ rพิจารณา1) ถ้าเส้นตรงแต่ละเส้นตัดกราฟของ r ได้เพียงจุดเดียวเท่านั้น
จะได้ว่า r เป็นฟังก์ชัน2) ถ้ามีเส้นตรงบางเส้นตัดกราฟของ r มากกว่าหนึ่งจุด จะได้ว่า r จะไม่เป็นฟังก์ชันf จะเป็นฟังก์ชันจาก A ไป B
(function from A to B) ก็ต่อเมื่อ1) f เป็นฟังก์ชัน2) Df
= A3) Rf ε B1) f เป็นฟังก์ชัน2) Df
= A3) Rf = Bf : AB อ่านว่า f เป็นฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B
นั่นคือ ความสัมพันธ์ f จะเป็นฟังก์ชัน
ก็ต่อเมื่อ ถ้า (x, y1) ε f และ (x,
y2) ε f แล้ว y1 = y2
ถ้าหากว่าความสัมพันธ์ที่กำหนดให้อยู่ในรูปแบบบอกเงื่อนไข การตรวจสอบว่าความสัมพันธ์นั้นเป็นฟังก์ชันหรือไม่สามารถทำได้กลายวิธี ดังต่อไปนี้
วิธีที่ 1 ถ้า r เป็นความสัมพันธ์ซึ่งประกอบด้วยคู่อันดับ (x,
y) และมีเงื่อนไข r(x, y) แล้ว ให้นำเงื่อนไข r(x,
y) มาเขียนใหม่โดยเขียน y ในรูปของ x และพิจารณาดังนี้
วิธีที่ 2 เมื่อกำหนดความสัมพันธ์ r ซึ่งประกอบด้วยคู่อันดับ
(x, y) และมีเงื่อนไข r(x, y)
วิธีที่ 3 โดยใช้กราฟ
กำหนดให้ f เป็นฟังก์ชัน เรามีข้อตกลงเกี่ยวกับการเขียนสัญลักษณ์
ดังนี้
(x, y) ε R จะเขียนแทนด้วย y
= f(x)
เรียก f(x) ว่าค่าของฟังก์ชัน f ที่ x หรือเรียกว่าภาพฉาย
(image) ของ x ภายใต้ฟังก์ชัน f
อ่าน f(x) ว่า เอฟของเอ็กซ์ หรือ เอฟที่เอ็กซ์
หรือเรียกสั้นๆ ว่า เอฟเอ็กซ์
เราจะพบการใช้สัญลักษณ์เกี่ยวกับฟังก์ชันอยู่ 2 ลักษณะที่สำคัญคือ
การเขียน f และ f(x)
ความแตกต่างของการเขียนและการนำไปใช้
1) การเขียน f จะเป็นการกำหนดชื่อฟังก์ชัน
(คล้ายการกำหนดชื่อเซต) เช่น กำหนดให้ f เป็นฟังก์ชัน
เป็นต้น การเขียน f จะเขียนในรูปเซตแบบแจกแจงสมาชิก
หรือว่าเซตแบบบอกเงื่อนไขก็ได้ เช่น f
= {(2, 5), (3, 7), (4,
9)} หรือ f
= {(x, y) | y = 2x +
1} เป็นต้น
2) การเขียน f(x) จะเป็นการนิยามฟังก์ชัน f ว่ามีเงื่อนไข
หรือลักษณะอย่างไร กำหนดให้เป็นอย่างไร มักเขียนในรูปนิพจน์ทางคณิตศาสตร์
(ประโยคสัญลักษณ์) แสดงความสัมพันธ์ตั้งแต่ 2 ตัวแปรขึ้นไป
และมักเขียนในรูปสมการ เช่น f(x) = 2x + 1 หรือบางครั้งอาจเขียน y
= 2x + 1 ให้เข้ใจว่า การนิยามฟังก์ชัน f จะเขียนให้อยู่ในรูป y
= f(x)
ดังนั้น นักรเยนจะพบเสมอว่า ในโจทย์ปัญหาเกี่ยวกับฟังก์ชันโดยทั่วไป
มักจะขึ้นต้นในทำนองว่า “กำหนดให้ f เป็นฟังก์ชันซึ่งนิยามว่า f(x)
= …” เป็นต้น
ดังนี้แล้ว
พึงระลึกถึงและนำไปใช้ให้ถูกต้องด้วยความเคร่งครัดและระมัดระวังพีชคณิตของฟังก์ชัน หรือ การดำเนินการของฟังก์ชัน (Algebric
Function or Operation of Function)ฟังก์ชันประกอบ หรือ ฟังก์ชันคอมโพสิต (Composite Function)
ตัวผกผันของฟังก์ชัน หรือ ฟังก์ชันอินเวอร์ส (Inverse of Function)ฟังก์ชันจากเซตหนึ่งไปยังอีกเซตหนึ่ง
ตัวผกผันของฟังก์ชัน หรือ ฟังก์ชันอินเวอร์ส (Inverse of Function)ฟังก์ชันจากเซตหนึ่งไปยังอีกเซตหนึ่ง
กำหนดให้ A และ B เป็นเซต
สัญลักษณ์ f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B จะเขียนแทนด้วย f
: A → B อ่านว่า f เป็นฟังก์ชันจาก Aไป B
ฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B
f จะเป็นฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B
(function from A onto B) ก็เต่อเมื่อ
สัญลักษณ์ f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B จะเขียนแทนด้วย f
: AB หรือ ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไป B
ประเภทของฟังก์ชัน
ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไปทั่วถึง B
ฟังก์ชันเชิงเส้น (Linear Funtion)
ฟังก์ชันพหุนาม (Polynomial Function)
ฟังก์ชันขั้นบันได (Step Function)
ฟังก์ชันเอกซโพเนนเชียล (Exponential Function)
ฟังก์ชันลอการิทึม (Logarithm Function)
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ (Trigonometry Function)
ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ (Absolute Value Function)
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น